Dokažte sporem, že body roviny \( \mathbb{R}^2 \) nejdou obarvit třemi barvami, aniž by nějaké dva body vzdálené právě 1 neměly stejnou barvu.
Příklad byl dost trikový. Princip sporu, který se v něm objevoval, spočíval v tom, že existuje-li obarvení třemi barvami všech bodů roviny, existuje obarvení třemi barvami libovolné podmnožiny těchto bodů. Stačí tedy najít nějakou vhodnou konečnou, se kterou se nám bude snadno pracovat a pro kterou posloupností nutných odvození vynutíme spor a tím ukážeme, že nelze obarvit celou rovinu.
Vymyslíme si "udělátko" ("gadget"), které nám bude umět v nějaké vzdálenosti a v nějakém směru od libovolného vrcholu za dodržování pravidel barvení třemi barvami (protože postupujeme sporem, předpokládáme prozatím, že to třemi jde) stejnobarevný bod.
To jde snadno: zkonstruujeme k zadanému bodu dva další tak, aby dohromady tvořily rovnostranný trojúhelník délky jedna. Nové dva body tak musí mít barvy jiné než původní bod a různé navzájem. Otočíme původní bod podle osové souměrnosti dané přímkou danou dvěma novými body a voila: tento nejnovější bod musí mít barvu shodnou s bodem původním, protože nemůže mít ani jednu ze zbylých dvou barev.
K čemu nám to bylo? V libovolném směru od našeho bodu nyní musí mít všechny body ve vzdálenosti \( \sqrt{3} \) stejnou barvu. Tvoří tedy jednobarevnou kružnici. Na ní ale už jistě existují dva body vzdálené 1, pro které barvení selže. Rovinu tedy takto obarvit nelze.